让一个好问题，走进课堂。 — Bingkun Qi

学习目标

区分瞬时位移与振幅，说明相位差如何改变合振幅，并用一个公式检验观察。

先约定模型

• 考虑满足线性叠加原理的两列简谐波；在同一位置、同一时刻，沿同一方向测量的位移可以直接相加。
• 两列波的频率相同，相位差 φ 固定。本演示还取相同波长和相同传播方向，因此相位差不随位置改变。
• 第一列波的振幅 A₁ 固定为 1；第二列的振幅 A₂ 可在 0 到 1 之间调节。所有位移和振幅都使用相同的相对单位。

2 分钟

预测：先留下一个判断

先不看合振幅读数。令 A₁ = A₂ = 1，预测相位差 φ 分别为 0°、90°、180° 时的合振幅 R。写下一个数值或范围，并说明理由。

• 两列波的波峰会在同一位置出现吗？
• 如果某一时刻合位移为 0，是否就说明合振幅为 0？

3 分钟

观察：逐点相加，而非只看波峰

在下面的实验中，将第二列波的振幅设为 1，依次把相位差调到 0°、90°、180°。暂停动画，在同一个横坐标读取两条曲线的位移，检查亮色合成曲线是否等于它们的代数和，再核对合振幅读数。

• φ = 90° 时，在第一列波波峰的位置，合位移为 1；但合成波的最大位移是否也只有 1？
• 播放动画并观察一个固定位置：瞬时位移随时间改变，合振幅在当前设置下保持不变。

3 分钟

推导：把观察写成一个公式

令 θ = kx − ωt。先相加位移，再展开三角函数：

y₁ = A₁ sin θ，y₂ = A₂ sin(θ + φ)

y = y₁ + y₂ = (A₁ + A₂ cos φ) sin θ + A₂ sin φ cos θ

y = R sin(θ + δ)

R² = (A₁ + A₂ cos φ)² + (A₂ sin φ)²

R = √(A₁² + A₂² + 2A₁A₂ cos φ)

• 将 sin θ 和 cos θ 的系数与 R sin(θ + δ) 的展开式比较，再平方相加，消去 δ。
• 公式给出的是合振幅 R，不是某个位置、某个时刻的位移 y。完全抵消时 R = 0，合成波的相位 δ 无需定义。

核对你的预测

2 分钟

挑战：反相就一定完全抵消吗？

保持 A₁ = 1，把 A₂ 调为 0.50，相位差设为 180°。先计算 R，再拖动滑块验证。解释为什么反相不再得到一条零位移直线。

不做逐一试算：当 A₁ = 1、A₂ = 0.50 时，随相位差改变，R 的最小值和最大值分别是多少？

完成后核对答案

带走的关键区别

叠加原理相加的是同一位置、同一时刻的带符号位移：y = y₁ + y₂。振幅是振动偏离平衡位置的最大距离，不能一般地写成 R = A₁ + A₂；本例只有同相时才成立。

这节示例的教学设计

先保留预测及理由，再一次只改变一个参数。出现不一致时，先在同一横坐标读出三个位移，再讨论振幅。最后用不等振幅的反例检查“反相就完全抵消”这一判断，而不只检查是否会代入公式。

教学经历

• 国际学校物理、数学与高等数学教学
• 纽约市立大学本科物理讲授与实验教学经历
• 洛桑联邦理工学院助教经历

教学工具与项目